【BZOJ2820】YY的GCD

Description

神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题

给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对

kAc这种傻×必然不会了，于是向你来请教……

多组输入

Input

第一行一个整数T 表述数据组数

接下来T行，每行两个正整数，表示N, M

Output

T行，每行一个整数表示第i组数据的结果

Sample Input

2

10 10

100 100

Sample Output

30

2791

不妨设\(n<m\)

答案为\(\displaystyle\sum_{g为质数}\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor}[gcd(i,j)==1]\)

根据套路 ，后面的\([gcd(i,j)==1]可以写成\displaystyle \sum_{d|i,d|j}\mu(d)\)

和式变换一下：\(\displaystyle \sum_{g为质数}\sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor}\mu(d)\lfloor \frac{n}{gd} \rfloor\lfloor \frac{m}{gd} \rfloor\)

根据套路：设\(T=gd,则\displaystyle\sum_{T=1}^{n}\sum_{d|T且\frac{n}{d}为质数}\mu(d)\lfloor \frac{n}{gd} \rfloor\lfloor \frac{m}{gd} \rfloor\)

又是套路：对于后面两个除法，我们数论分块就可以了。对于\(\sum_{d|T且\frac{n}{d}为质数}\mu(d)\)我们可以预处理出前缀和。

代码：

#include
    
     #define N 10000005#define ll long longusing namespace std;int T;int pri[700000];ll mu[N],sum[N];bool vis[N];void pre() {    mu[1]=1;    for(int i=2;i<=10000000;i++) {        if(!vis[i]) pri[++pri[0]]=i,mu[i]=-1;        for(int j=1;j<=pri[0]&&i*pri[j]<=10000000;j++) {            vis[i*pri[j]]=1;            if(i%pri[j]==0) {                mu[i*pri[j]]=0;                break;            }            mu[i*pri[j]]=-mu[i];        }    }    for(ll i=1;i<=pri[0];i++) {        for(ll j=1;j*pri[i]<=10000000;j++) {            sum[j*pri[i]]+=mu[j];        }    }    for(ll i=1;i<=10000000;i++) sum[i]+=sum[i-1];}ll n,m;int main() {    pre();    scanf("%d",&T);    while(T--) {        scanf("%lld%lld",&n,&m);        if(n>m) swap(n,m);        ll last,ans=0;        for(ll i=1;i<=n;i=last+1) {            last=min(n/(n/i),m/(m/i));            ans+=(sum[last]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);        }        cout<
     
      <<'\n';    }    return 0;}